螺旋千斤顶螺纹副优化设计

　　1数学模型的建立
　　
　　手动螺旋千斤顶主要包括底座、棘轮、圆锥齿轮副、托杯、传动螺纹副等部分。千斤顶zui大起重量是其zui主要的性能指标之一。千斤顶在工作过程中，传动螺纹副承受主要的工作载荷，螺纹副工作寿命决定千斤顶使用寿命，故传动螺纹副的设计zui为关键，其设计与zui大起重量、螺纹副材料、螺纹牙型以及螺纹头数等都有关系。
　　
　　1.1目标函数与设计变量
　　
　　手动螺旋千斤顶在满足设计性能和要求的前提下，从结构紧凑、减轻重量、节省材料和降低成本考虑。在给出千斤顶zui大起重量、传动螺纹副材料及其屈服应力、螺纹头数等基本设计要求和圆锥齿轮副等已定的情况下，可从螺纹副设计着手考虑，使螺纹副所用材料zui少，即在满足设计性能的情况下，传动螺杆、螺母所占体积zui少。
　　
　　螺杆的体积为：v1=πd22L/2
　　
　　螺母的体积为：v2=π（Ｄ′2-D22）H/4
　　
　　式中：d2——螺杆中径，mm；
　　
　　D′——螺母外径（虚拟），mm；
　　
　　D2——螺母中径，mm；
　　
　　L——螺杆总长，mm；
　　
　　H——螺母高度，mm.
　　
　　考虑到传动效率要求较高和螺纹受力较大等因素，千斤顶一般采用锯齿形螺纹传动，其大径、中径、小径之间有如下关系：
　　
　　d2=d－0.75P
　　
　　d1=d－1.736P
　　
　　且内、外螺纹有如下关系：D＝d;D2=d2;
　　
　　式中，D2、d2为内、外螺纹中径；P为螺距;Ｄ、ｄ为内、外螺纹大径；ｄ1为内螺纹小径。
　　
　　则目标函数（即传动螺纹副体积之和）为：
　　
　　V=V1+V2=πL（d-0.75P）2-/4+π［D′2--（d-0.75P）2-］H/4
　　
　　从目标函数表达式中可以看出，Ｌ、Ｄ′均为常量，而螺距P取值虽为整数，但其取值随螺纹公称直径而变化，这里将其作为变量。故变量有ｄ、Ｈ、P三个，记作：
　　
　　X=［x1,x2，x3］T=［d,H，P］T
　　
　　目标函数表达式为：
　　
　　V（x）=πL（x1-0.75x3）3/4+π［D′2-（x1-0.75x3）2］x2/4
　　
　　1.2优化约束条件
　　
　　1.2.1约束条件分析
　　
　　（1）耐磨性条件
　　
　　锯齿形螺纹工作高度h：h=0.75P
　　
　　根据手动螺旋千斤顶传动螺纹副滑动速度较低，及螺母和螺杆材料等条件，查取许用比压［p］：
　　
　　计算比压为：p=FP/[（d-0.75P）πhH]＜［p］
　　
　　（2）螺纹的自锁条件
　　
　　螺旋升角ψ：ψ=arctanP/πd2=arctanP/[π（d-0.75P）]
　　
　　当量摩擦角ρv=arctanuv，uv为螺纹副当量摩擦系数。
　　
　　自锁条件为：ψ＜ρv－（1°～1.5°）,即
　　
　　arctanP/[π（d-0.75P）]＜ρv－（1°～1.5°）
　　
　　（3）螺杆的强度条件
　　
　　螺纹危险截面面积A为：A=π（d-1.736P）2/4
　　
　　螺杆所受转矩T：T=F·tan（ψ+ρv）（d－0.75P）/2
　　
　　当量应力为：
　　
　　式中，F为千斤顶zui大起重量，单位为N.
　　
　　查表,确定许用应力［σ］.
　　
　　当量应力应小于许用应力，即：σca＜［σ］
　　
　　（4）螺纹牙剪切强度条件
　　
　　按机械性能较弱的螺母材料进行计算：
　　
　　螺母的外径D等于螺杆外径d：D=d
　　
　　螺纹牙根厚b：b=0.75P
　　
　　螺纹旋合圈数z：z=H/P
　　
　　查表取得许用剪切应力［τ］.
　　
　　按剪切强度进行计算：τ=F/（πDbz）=F/（πd·0.75P·H/P），τ＜［τ］.
　　
　　（5）螺纹牙弯曲强度条件
　　
　　同样，取机械性能较弱的螺母材料进行计算。
　　
　　按弯曲强度进行计算：σb=3F（D-D2）/（πDb2z）=3F（d-d2）/（πDb2z）=3F［d-（d-0.75P）］/（πDb2z）
　　
　　σb＜［σb］.
　　
　　对静载，许用应力应取较大值。
　　
　　（6）螺杆的稳定性条件
　　
　　确定螺杆的柔度λ值：λ=μL/i
　　
　　式中，μ为螺杆的长度系数，L为螺杆的总长度，i为螺杆危险截面惯性半径，i=d1/4.
　　
　　螺杆的长度系数根据螺纹副固定形式取值。
　　
　　λ值小于许用值［λ］，即：λ＜［λ］.
　　
　　（7）螺杆公称直径取值范围
　　
　　查《机械设计手册》，取d值范围为：20mm≤d≤650mm.
　　
　　（8）螺母zui大高度（螺纹啮合长度）范围：30mm≤H≤280mm.
　　
　　（9）螺纹螺距取值范围
　　
　　查《机械设计手册》，得P值范围为2mm≤P≤24mm.
　　
　　1.2.2约束条件
　　
　　约束条件表达式如下：
　　
　　g1（x）=F-［0.75π（x1-0.75x3）x2］［p］≤0
　　
　　g2（x）=arctanx3/[π（x1-0.75x3）]-ρv+（1°～1.5°）≤0
　　
　　g4（x）=F/（0.75πx1x2）-［τ］≤0
　　
　　g5（x）=3F/（0.75πx1x2）-［σb］≤0
　　
　　g6（x）=4μL/（x1-1.736x3）-［λ］≤0
　　
　　g7（x）=30-x2≤0
　　
　　g8（x）=x2-280≤0
　　
　　g9（x）=20-x1≤0
　　
　　g10（x）=x1-650≤0
　　
　　g11（x）=2-x3≤0
　　
　　g12（x）=x3-24≤0
　　
　　2优化方法
　　
　　本问题有三个变量12个约束条件，采用MATLAB优化工具对其进行优化设计。
　　
　　3优化设计实例
　　
　　某厂生产一种手动螺旋千斤顶，zui大设计起重量为40kN，螺纹为锯齿形，螺杆材料采用40Cr，热处理HRC45～50，σs=785Mpa，螺母用ZCuAl10Fe3，螺纹副当量摩擦系数为μv=0.13,千斤顶zui大起重高度为130mm,圆锥齿轮厚为30mm,轴承固定端l0/d0=7/18。试设计传动螺纹副，使其结构紧凑、所用材料zui省。
　　
　　根据前面的数学建模，我们先通过查表或计算，得到约束条件的各个相关参数，然后再将其代入上述建模的约束条件，从而得到螺纹副的*设计方案。
　　
　　现将原设计与优化设计结果加以对照（表1），可以看出，优化设计后螺纹副体积比原设计减少12.51%。采用优化设计方法，不仅节省材料，降低工厂生产成本，而且节省设计时间。这有助于改革传统的设计方法，为新产品开发改进提供了有力的依据。
　　
　　表1原设计及优化设计结果
　　
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